Se você tem interesse por fractais, provavelmente já se deparou com esta figura. Este é o Conjunto de Mandelbrot, definido pelo matemático Adrien Douady.
Conjunto de Mandelbrot
Mas de onde veio essa figura?
Esse gráfico que, apesar de visualmente complexo, segue um conjunto de regras relativamente simples. Primeiramente, precisamos conhecer dois conceitos matemáticos básicos, explicados a seguir:
Conceito – O plano complexo
Números complexos são números que têm duas partes: uma real e uma imaginária. Podemos representar esses números em um plano cartesiano, colocando a parte real no eixo das abscissas e a parte imaginária no eixo das ordenadas. Fazendo isso, temos o plano complexo, usado para traçar o conjunto.
Plano complexo
Conceito – Sequências e Estabilidade
Sequências são conjuntos de números que obtemos ao aplicar uma regra. Essa regra pode ser, por exemplo: “Faça o quadrado do número anterior”. Começando pelo número 2, isso dá:
Fica fácil perceber que os números ficam cada vez maiores e vão ao infinito, o que significa que essa sequência não é estável. Por outro lado, se começarmos pelo número 0,5:
Neste caso, os números ficam menores com cada iteração, se aproximando de zero. Como essa sequência se aproxima de um número ao invés de ir ao infinito, dizemos que ela é estável.
Dados esses conceitos, conseguimos obter o Conjunto de Mandelbrot:
Primeiro, escolhemos sequências com a seguinte regra:
“Faça o quadrado do número anterior e some a constante C, considerando o primeiro termo igual a zero”.
Essa constante C nos dá o gráfico. Para isso, basta pegarmos um plano complexo e colorirmos de preto todos os valores de C que fazem com que a sequência fique estável.
Assim obtemos o Conjunto de Mandelbrot.
Eventualmente, o matemático Benoit Mandelbrot, estudando o Conjunto de Mandelbrot, entre outros, veio a definir o que são fractais.
Para saber mais sobre Mandelbrot, que foi homenageado com o nome do conjunto por Adrien Douady, veja nosso post “Mandelbrot e os fractais”! (abre em nova aba)
Além disso, o Conjunto de Mandelbrot também é conhecido pelas fascinantes imagens que gera em diferentes escalas. É possível encontrar animações do conjunto de Mandelbrot (abre em nova aba).