2025

Programação para o Verão 2025 do Programa de Pós-graduação em Matemática

Curso: Análise Complexa

• Professor: Eduard Toon
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Conteúdo: 

1.Números e funções complexas:
Definição e forma polar. Funções complexas. Limites e conjuntos compactos. Derivação e as Equações de Cauchy-Riemann.

2.Séries de potências:
Séries formais e convergentes. Funções analíticas.

3.Teoremas:
Teorema da aplicação aberta e aplicação inversa. Princípio do Módulo Máximo.

4.Teorema de Cauchy:
Funções holomorfas em conjuntos conexos. Integrais sobre caminhos. Primitivas. Teorema de Cauchy.

5.Fórmula Integral de Cauchy e aplicações:
Fórmula Integral de Cauchy. Séries de Laurent. Singularidades isoladas (singularidades removíveis, pólos e singularidades essenciais).

6.Resíduos:
Cálculo de resíduos e cálculo de integrais por resíduos.

7.Aplicações conformes:
Lema de Schwarz. Automorfismos do Disco. Semi-plano superior. Outros exemplos.

8.Funções Harmônicas:
Definição, exemplos, propriedades básicas e construção de funções harmônicas. Representação de Poisson. Os espaços de funções contínuas, analíticas e meromorfas; Teorema da uniformização de Riemann.

Ementa:

1.Números e funções complexas.

2.Séries de potências.

3.Os Teoremas da aplicação aberta e aplicação inversa e o Teorema de Cauchy.

4.Fórmula Integral de Cauchy e aplicações.

5.Resíduos.

6.Aplicações conformes.

7.Funções Harmônicas.

Bibliografia:

AHLFORS, L. V. – Complex Analysis – Second Edition, McGraw- Hill, 1966.

CARTAN, H. – Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables – Dover Publications, 1995.

CONWAY, J. B. – Functions of One Complex Variable I