Prof. Dr. Alexandre Souto Martinez (USP)
Resumo: Este estudo propõe uma generalização da equação unidimensional de Helmholtz, (d²_x + k²)f(x) = 0 para −L ≤ x ≤ L, onde k = κ ou k = iκ com κ, L ∈ R, aplicável a sistemas de barreira e poço em mecânica quântica, cujas soluções podem ser expandidas em séries de Fourier. A abordagem introduz uma extensão para o plano complexo da exponencial de Tsallis, permitindo associar valores onde esta última se anula, a inclusão de um parâmetro complexo adicional, junto ao índice entrópico e consideração variável complexa. A função resultante possui um pólo ajustável, levando à definição de um operador de derivada deformada que gera novas funções trigonométricas complexas deformadas. Essas funções preservam propriedades fundamentais das funções trigonométricas clássicas, incluindo a ortogonalidade quando a equação de Helmholtz deformada é expressa na forma de Sturm-Liouville. Este formalismo acomoda estados estendidos, associados a funções circulares deformadas, e estados ligados, associados a funções hiperbólicas deformadas, semelhantes aos estados de barreira e poço quântico. Também apresentamos uma transformação integral análoga à de Fourier e, para o caso discreto, uma expansão em série de funções log-periódicas deformadas. A estrutura matemática proposta sugere conexões com hamiltonianos não-Hermitianos, oferecendo uma base promissora para a descrição de sistemas quânticos não-conservativos e dissipativos.