A força magnética em uma partícula carregada com carga $$q$$ em movimento com velocidade $$\vec{v}$$ é dada por:
$$\vec{F}_M=q\vec{v}\times\vec{B}$$
se essa é a única força que atua na partícula então essa é a força resultante e assim podemos escrever,
$$\vec{F}_R=\vec{F}_M$$,
$$m\vec{a}=q\vec{v}\times\vec{B}$$,
$$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{q}{m}\vec{v}\times\vec{B}$$ (1)
Escolhendo um campo magnético constante na direção $$z$$ temos $$\vec{B}=B_z \hat{k}$$ assim,
$$\vec{v}\times\vec{B}=\hat{i}(v_y B_z)-\hat{j}(v_x B_z)+\hat{k}(0)$$.
podemos escrever a equação (1) por,
$$\frac{dv_x}{dt}=\frac{q}{m}v_y B_z$$ (2)
$$\frac{dv_y}{dt}=-\frac{q}{m}v_x B_z$$ (3)
$$\frac{dv_z}{dt}=0$$ (4)
Da equação (4) vemos que a velocidade é constante logo, $$v_z(t)=v_{z0}$$ e assim, $$z(t)=z_0+v_{z0} t$$.
Derivando as equações (2) e (3) temos,
$$\frac{d^2 v_x}{dt^2}= \frac{q}{m}B_z \frac{dv_y}{dt} =-\frac{q^2 B_z^2}{m^2} v_x$$
$$\frac{d^2 v_y}{dt^2}=-\frac{q}{m}B_z \frac{dv_x}{dt} =-\frac{q^2 B_z^2}{m^2} v_y$$
Essas equações tem a mesma estrutura da equação do oscilador harmônico assim,
$$ v_x(t)=-A\omega\sin(\omega t +\phi)$$ e $$ x(t)=A\cos(\omega t +\phi)$$
$$ v_y(t)=+A_1\omega\cos(\omega t +\phi_1)$$ e $$ y(t)=A_1\sin(\omega t +\phi_1)$$
onde $$\omega=\frac{qB_z}{m}$$ e as constantes $$A$$, $$A_1$$, $$\phi$$ e $$\phi_1$$ são determinadas
pelas condições iniciais.
Vemos que teremos um movimento circular no plano $$xy$$ e assim o raio da órbita será dada por:
$$R^2 = x^2+y^2 = A^2\cos^2(\omega t +\phi)+A_1^2\sin^2(\omega t +\phi) $$
esta equação mostra que o movimento pode ser uma elipse.
Se $$A=A_1$$ teremos um movimento circular de raio $$R=A$$ e assim a aceleração é centrípeta e podemos escrever que,
$$\frac{v^2}{R}=\frac{q}{m}v B_z$$
$$\frac{v}{R}=\frac{qB_z}{m} $$ e
$$R=\frac{mv}{qB_z} $$ .