Os critérios para realização do Exame de Qualificação foram estabelecidos pela Resolução 04/2018, aprovada pelo Colegiado do Programa em 24 de setembro de 2018.

Alunos regulares do curso devem  prestar um exame de qualificação constituído de provas elaboradas por uma banca indicada pelo colegiado.

O Exame de Qualificação será composto por três módulos, sendo o primeiro módulo correspondente ao programa de Introdução à Álgebra Linear.  Os outros dois módulos serão escolhidos pelo aluno no ato da inscrição no Exame, que deverá ser feita até a data limite do Calendário Acadêmico. O aluno poderá escolher entre quaisquer disciplina do Grupo I, listadas no Anexo I da Resolução 03/2018, sendo vedada a escolha de duas disciplinas da mesma área:

Em caso de insucesso em alguma prova, o aluno terá uma segunda chance no conteúdo desta prova.

Ao final do seu primeiro ano de curso o aluno deve estar aprovado no exame.

Alunos com desempenho excelente poderão ser dispensados do Exame de Qualificação Escrito desde que obtenham conceito A em duas disciplinas listadas no Grupo I, listadas no Anexo I da Resolução 03/2018

Serão automaticamente desligados do Curso os alunos que forem reprovados no Exame de Qualificação Escrito em segunda chance.

Datas das provas de Exame de Qualificação de cada ano são divulgados no Calendário.

Programas das Provas:

Álgebra Avançada

1. Grupos: Homomorfismos, normalidade e grupos quocientes, os teoremas de isomorfismos, grupos simétricos e diedrais, ações de grupos, os teoremas de Sylow.
2. Anéis: Ideais, teoremas de isomorfismos, domínios Euclidianos e de ideais principais, anéis de polinômios.
3. Corpos e Teoria de Galois: Extensões, elementos algébricos e transcendentes, extensões algébricas, normalidade e separabilidade, o teorema de Galois, grupos de Galois de polinômios.

Álgebra Comutativa

1. Anéis e Ideias: Ideais, ideais primos e maximais, operações, extensões e contração.
2. Módulos: Módulos, submódulos e módulos quocientes, módulos finitamente gerados e seqüências exatas, produto tensorial.
3. Anéis e Módulos de Frações. Localização: anéis e módulos de frações.
4. Variedades Algébricas: Variedades algébricas, teorema da base de Hilbert, decomposição de uma variedade em componentes irredutíveis, o teorema dos zeros de Hilbert, o espectro de um anel, variedades projetivas e o espectro homogêneo. Topologia de Zariski, o feixe de funções regulares de uma variedade algébrica.
5. Decomposição Primária: Decomposição Primária para anéis Noetherianos.
6. Teria de Dimensão: Dimensão de Krull para espaços topológicos e anéis, cadeias de ideais primos, dimensão de álgebras afins e variedades afins, teorema de normalização de Noether.

Análise no R^n

1. Topologia no R^n : Seqüências no R^n; Topologia; Limites e continuidade; Compacidade; Conexidade; Norma de uma transformação linear.
2. Aplicações diferenciáveis: Definição, derivadas direcionais e parciais, exemplos (funções como caso particular); Regra da Cadeia; Vetor Gradiente; Desigualdade do Valor Médio; As classes de diferenciabilidade C^k, derivadas de ordem superior e a Fórmula de Taylor;
3. Teorema da Aplicação Inversa e Teorema da Aplicação Implícita: A forma local da imersões; A forma local das submersões; Teorema do posto.
4. Integrais múltiplas: Definição, caracterização das funções (Riemann-) integráveis; Integração repetida; Mudança de variáveis;

Equações Diferenciais Ordinárias

1. Sistemas lineares; Equações diferenciais Lineares, autovalores, classificação de sistemas planares.
2. Teoremas de existência e unicidade; Dependência em relação a condições iniciais.
3. Estabilidade; Estabilidade e instabilidade assintótica de pontos de equilíbrio. Funções de Liapunov.
4. Teoria Qualitativa; Teorema de Hartman-Grobman; Teorema do fluxo tubular; Conjuntos invariantes; Teorema de Poincaré-Bendixson; campos de vetores; estrutura local de órbitas periódicas e pontos singulares.

Topologia Geral

1. Espaços topológicos e funções contínuas: Espaços e subespaços topológicos. Conjuntos fechados e pontos limite. Funções contínuas e homeomorfismos. Topologia produto, topologia da métrica, topologia quociente.
2. Conexidade e compacidade; Espaços conexos, localmente conexos e conexos por caminhos, componentes conexas. Espaços compactos e localmente compactos. Teorema de Tychonoff, compactificação.
3. Enumerabilidade e separação: Axiomas de enumerabilidade e separação, Lema de Urysohn, extensão de funções contínuas.
4. Espaços métricos completos e espaços de funções: Espaços métricos completos, compacidade de espaços métricos, convergência pontual, topologia compacto-aberta, Teorema de Ascoli.

Geometria Diferencial

1. Curvas: Curvas regulares, comprimento de arco, fórmulas de Frénet, forma canônica local de uma curva.
2. Superfícies e aplicações diferenciáveis: Superfícies regulares, mudança de coordenadas, funções diferenciáveis, plano tangente e derivada, primeira forma fundamental, orientação.
3. Curvaturas e classificação de superfícies: Aplicação de Gauss, segunda forma fundamental, curvatura normal, direções principais e assintóticas, pontos umbílicos. Curvatura Gaussiana. Aplicação de Gauss em coordenadas locais. Superfícies de revolução. Isometrias, aplicações conformes. Teorema de Gauss.
4. Geodésicas: Transporte paralelo, derivada covariante, geodésicas. Curvatura geodésica. Teorema de Gauss-Bonnet. Aplicação exponencial, coordenadas polares geodésicas. Propriedades de geodésicas. Superfícies completas, Teorema de Hopf-Rinow.

Otimização

1. Otimização: Otimização sem restrições. Condições de otimalidade e convexidade.
2. Algoritmo: O conceito de algoritmo como multiplicação.
3. Convergência: Teorema global de convergência. Velocidade de convergência.
4. Métodos de busca: Métodos de busca unidimensional.
5. Métodos Iterativos: Métodos clássicos: Gradiente e Newton; Métodos usando direções conjugadas: Quase-Newton e Gradiente conjugado; Métodos de região de confiança.

Probabilidade e Inf. Estatística I

1. Probabilidade: Definições, Propriedades, Probabilidade condicional e independência. Variáveis aleatórias, Principais distribuições de probabilidade. Vetores aleatórios. Esperança: Definição, Propriedades, Momentos, Variância e Funções geradoras. Distribuição e esperança condicionais. Distribuições de transformações de vetores aleatórios.
2. Inferência Estatística: Conceitos básicos, estimação, testes de hipóteses, e outros problemas da inferência clássica. Métodos de estimação: momentos e máxima verossimilhança e aplicações. Critérios para avaliação de estimadores. Intervalos de confiança: conceituação, interpretação e construção. Testes de hipóteses: testes para média e variância em populações normais.

Física Matemática I

1. Teoria de grupos: Elementos da teoria de grupos continuas. Grupos de Lie. Álgebras de Lie. Representações de um grupo de Lie e de álgebra de Lie.
2. Representações dos grupos: SU(2), de rotações, de Lorentz, de Poincaré.
3. Aplicações: Campo de calibre, elementos de teoria quântica de campos.

Introdução à Modelagem Matemática

1. Parte 1: Noções de Modelagem. Princípios básicos (o que é um modelo, porque modelar, objetivos e requisitos); Metodologia: etapas (identificação, formulação e solução); Tipos de modelos (determinísticos, estatístico, estocástico), Modelos discretos e contínuos, Processos de modelagem; Noções de cálculo vetorial e tensorial; Significado físico dos operadores gradiente, divergente, rotacional e laplaciano;
2. Parte 2: Leis de Conservação. Equações escalares; Solução fraca; Curvas características; Eq. de Burgers; Choques e Rankine-Hugoniot Locus; Problema de Riemann; Solução entrópica (T. de entropia de Lax, T. de entropia de Oleynik); Rarefações; Sistema de Equações Hiperbólicas Lineares; Sistemas não Lineares (fluxo isotérmico).
3. Parte 3: Aplicações. Serão tratados um dos exemplos reais de modelagem: 1. Equações gerais do escoamento; Lei de Darcy; Lei de Fick; Exemplos envolvendo todas as etapas de modelagem. 2. Modelos do tipo Predador-Presa; Modelos SIR; Exemplos envolvendo todas as etapas de modelagem.

Introdução a Álgebra Linear

1. Espaços vetoriais: Espaços vetoriais. Dualidade de espaços vetoriais.
   2. Transformações lineares: Transformações lineares, Determinantes.
   3. Formas canônicas: Formas racional e de Jordan.
   4. Espaços com produto interno: Operadores auto-adjuntos, positivos, unitários e normais, teorema espectral.
   5. Formas bilineares e quadráticas.
   6. Produto tensorial.