Programa de Verano 2025

Programación para el Verano 2025 del Programa de Posgrado en Matemáticas

Curso: Análisis Complejo
Profesor: Eduard Toon
Inicio del curso: 09/01/2025
Lugar del curso: Departamento de Matemáticas
Días y horarios de las clases: Miércoles y jueves de 14:00 a 16:00. Viernes de 14:00 a 17:00.

Contenido:

1. Números y funciones complejas:
   Definición y forma polar. Funciones complejas. Límites y conjuntos compactos. Derivación y las Ecuaciones de Cauchy-Riemann.

2. Series de potencias:
   Series formales y convergentes. Funciones analíticas.

3. Teoremas:
   Teorema de la aplicación abierta y aplicación inversa. Principio del Módulo Máximo.

4. Teorema de Cauchy:
   Funciones holomorfas en conjuntos conexos. Integrales sobre caminos. Primitivas. Teorema de Cauchy.

5. Fórmula Integral de Cauchy y aplicaciones:
   Fórmula Integral de Cauchy. Series de Laurent. Singularidades aisladas (singularidades removibles, polos y singularidades esenciales).

6. Residuos:
   Cálculo de residuos y cálculo de integrales por residuos.

7. Aplicaciones conformes:
   Lema de Schwarz. Automorfismos del Disco. Semi-plano superior. Otros ejemplos.

8. Funciones armónicas:
   Definición, ejemplos, propiedades básicas y construcción de funciones armónicas. Representación de Poisson. Los espacios de funciones continuas, analíticas y meromorfas; Teorema de la uniformización de Riemann.

Programa:

1. Números y funciones complejas.

2. Series de potencias.

3. Los Teoremas de la aplicación abierta y aplicación inversa y el Teorema de Cauchy.

4. Fórmula Integral de Cauchy y aplicaciones.

5. Residuos.

6. Aplicaciones conformes.

7. Funciones armónicas.

Bibliografía:

AHLFORS, L. V. – Complex Analysis – Second Edition, McGraw-Hill, 1966.
CARTAN, H. – Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, Dover Publications, 1995.
CONWAY, J. B. – Functions of One Complex Variable I.