Plano Departamental
Disciplina: MAT167 - ESPAÇOS MÉTRICOS
Horas Aula: 4
Departamento: DEPTO DE MATEMATICA /ICE
Plano de Ensino
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Ementa
1- Definições e exemplos
2- Isometria
3- Topologia dos espaços métricos
4- Espaços conexos
5- Espaços completos
6- Espaços compactos
Conteúdo
1- Definições e exemplos
Espaços métricos. Espaços vetoriais normados e com produto interno. Bola aberta e bola fechada. Diâmetro de um conjunto. Conjuntos limitados. Distância entre conjuntos. Subespaços: métrica induzida. Aplicações contínuas entre espaços métricos. Homeomorfismo. Métricas equivalentes.
2- Isometria
Definições e exemplos. Imersão de espaço métrico num espaço de funções limitadas.
3- Topologia dos espaços métricos
Conjuntos abertos. Vizinhança de um ponto. Conjuntos fechados. Interior, aderência e fronteira de um conjunto. Relação entre conjuntos abertos e aplicações contínuas. Sequências em espaços métricos. Sequências de aplicações. Convergência pontual e uniforme. Relação entre topologia dos espaços métricos e convergência de sequências. Limite de funções.
4- Espaços conexos
Definições e exemplos. Conexidade por caminhos. Relação entre conexidade e conexidade por caminhos. Conexidade e aplicações contínuas. Componentes conexas e componentes conexas por caminhos. A conexidade como invariante topológico. Espaços localmente conexos.
5- Espaços completos
Continuidade uniforme. Métricas uniformemente equivalentes. Sequência de Cauchy. Espaços métricos completos. Espaços de Banach e de Hilbert. Completamento de espaços métricos. O Teorema de Baire. O Teorema do ponto fixo de Banach.
6- Espaços compactos
Definições e exemplos. Propriedades gerais. Caracterização de espaços métricos compactos. Compacidade em espaços euclidianos. Conjuntos relativamente compactos. Caracterização de conjuntos relativamente compactos em espaços de aplicações contínuas.
Espaços localmente compactos. Caracterização de espaços normados localmente compactos.
Bibliografia
COPSON, E.T. Metric Spaces. London: Phoenix Public Library, 1968.
KUMARESAN, S. Topology of Metric Spaces. London: Alpha Science, 2005.
LIMA, E. L. Espaços Métricos. Projeto Euclides, CNPq.
Bibliografia(continuação)
Não informado
Bibliografia complementar
CHINN & STEENROD. First Concepts of Topology. Randon House.
COURANT, R. & ROBBINS, H. What is Mathematics?. Oxford University Press.
DIEUDONNÉ, J. Foundations of Modern Analysis.
DOMINGUES, H.H. Espaços Métricos e Introdução à Topologia. São Paulo: Atual, 1982.
LIMA, E. L. Curso de Análise. Vol. 1. Projeto Euclides, CNPq.
LIMA, E. L. Elementos de Topologia Geral. Ao Livro Técnico.