Plano Departamental

1- DERIVADAS
Conceitos e resultados iniciais: definição (via limite), aproximação linear, exemplos. Regras operacionais: regras de derivação, a Regra da Cadeia, derivada da função inversa. Derivada e crescimento local: derivadas laterais, resultados envolvendo derivadas e pontos de máximo ou mínimo (locais e globais), pontos críticos. Funções deriváveis em um intervalo: Teorema de Darboux, Teorema de Rolle, Teorema do Valor Médio de Lagrange e suas consequências.

2- FÓRMULA DE TAYLOR E APLICAÇÕES DA DERIVADA
Fórmula de Taylor: Polinômio de Taylor, Fórmula de Taylor Infinitesimal, Fórmula de Taylor com resto de Lagrange. Funções convexas e côncavas: definições e caracterizações. Aproximações sucessivas e o Método de Newton: ponto fixo das contrações, Método de Newton e aplicações, convergência quadrática do Método.

3- A INTEGRAL DE RIEMANN
Revisão sobre sup e inf. Integral de Riemann: definição e condição imediata de integrabilidade. Propriedades da integral. Caracterização das funções Riemann-integráveis.

4- CÁLCULO COM INTEGRAIS
Teoremas clássicos do Cálculo Integral: Teorema Fundamental do Cálculo, Mudança de variável, Integração por partes, Fórmula do Valor Médio para integrais, Fórmula de Taylor com resto integral. A integral como limite de Somas de Riemann. Logaritmos e exponenciais: definições e propriedades das funções logarítmicas e exponenciais. Integrais impróprias: integrais de funções ilimitadas e integrais de funções definidas em intervalos ilimitados, condições de convergência ou divergência (critérios de comparação), exemplos.

5- SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES
Convergência Simples e Convergência Uniforme: definições, exemplos. Propriedades da Convergência Uniforme: “O limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é uma função contínua”, Teorema de Dini, passagem ao limite sob o sinal de integral, derivação termo-a-termo, Teste de Weierstrass. Séries de potências: definição, exemplos, Raio de Convergência (propriedades, Fórmula de Hadamard), convergência uniforme, integração e derivação termo-a-termo, unicidade da representação em séries de potências. Funções analíticas: definição, propriedades e exemplos. Equicontinuidade: funções pontualmente/uniformemente limitadas, Teorema de Cantor-Tychonov, definição e exemplos de famílias equicontínuas de funções, Teorema de Ascoli-Arzelá.

6- TOPOLOGIA NO Rn (CONJUNTOS)
O espaço vetorial Rn: estrutura vetorial, produto interno, norma, métricas, bolas e conjuntos limitados. Sequências: definição de limite, sequência das coordenadas, Teorema de Bolzano-Weierstrass, equivalência de normas quaisquer. Topologia usual: conjuntos abertos, conjuntos fechados e pontos de acumulação - definições, exemplos e propriedades. Compacidade: definição, exemplos, Propriedade de Cantor e caracterizações. Conexidade: definição, exemplos e resultados básicos, componentes conexas, conexidade por caminhos.

BARTLE, R. G. . Elementos de Análise Real. Rio de Janeiro: Ed. Campus, 1983.
FIGUEIREDO, D. G. . Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1974.
LIMA, E. L. . Análise Real, vol. 1. Rio de Janeiro: IMPA (Coleção Matemática Universitária), 1993.
LIMA, E. L. . Curso de Análise, vol. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 1992.
LIMA, E. L. - Curso de Análise, vol. 2. Rio de Janeiro: IMPA, 1989.

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