Plano Departamental
Disciplina: MAT045 - ELEM.DE GEOMETRIA DIFERENCIAL
Horas Aula: 4
Departamento: DEPTO DE MATEMATICA /ICE
Plano de Ensino
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Ementa
1- Curvas
2- Superfícies Regulares
3- A Geometria da Aplicação Normal de Gauss
4- Geometria Intrínseca das Superfícies
5- O Teorema de Gauss-Bonnet e Aplicações
Bibliografia:
Conteúdo
1- CURVAS
Introdução. Curvas Parametrizadas Diferenciáveis. Curvas Regulares. Comprimento de Arco. Produto Vetorial em R3.
Teoria Local das Curvas Parametrizadas pelo Comprimento do Arco. Forma Canônica Local. Considerações sobre a Definição de Curva.
2- SUPERFÍCIES REGULARES
Revisão de Cálculo. Superfícies Regulares. Imagem Inversa de um Valor Regular de uma Função Diferenciável.
Mudança de Parâmetros. Funções Diferenciáveis em Superfícies. Plano Tangente. Diferencial de uma Aplicação. Orientação de Superfícies. Caracterização das Superfícies Compactas Orientáveis. Primeira Forma Quadrática: Área. Uma Definição Geométrica de Área. Isometrias, Transformação Conforme.
3- A GEOMETRIA DA APLICAÇÃO NORMAL DE GAUSS
Preliminares de Álgebra Linear: Aplicações Auto-Adjuntas e Formas Quadráticas. Definição e Propriedades Fundamentais. A Aplicação Normal em Coordenadas Locais. Campo de Vetores.
4- GEOMETRIA INTRÍNSECA DAS SUPERFÍCIES
O Teorema de Gauss e as Equações de Compatibilidade. Transporte Paralelo, Geodésicas. A Aplicação Exponencial. Coordenadas Geodésicas Polares. Outras Propriedades das Geodésicas.
5- O TEOREMA DE GAUSS-BONNET E APLICAÇÕES
O índice de Rotação de uma Curva Fechada. O Teorema de Gauss-Bonnet Local. Outros Preliminares Topológicos. O Teorema de Gauss-Bonnet Global.
Bibliografia
CARMO, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, SBM.
RODRIGUES, L. Geometria Diferencial. IIº Colóquio Brasileiro de Matemática.
VALLADARES, R. Introdução à Geometria Diferencial. CEUFF.
Bibliografia(continuação)
Não informado
Bibliografia complementar
ARAÚJO, P. V., Geometria Diferencial, IMPA.
CARMO, M. Elementos de Geometria Diferencial. Ao Livro Técnico.
O'NEILL, B. Elementary Differential Geometry. Academic Press.
POGORELOV, A. V. Differential Geometry. Groningen.