Semana da Matemática-2012

A Semana da Matemática da UFJF é um projeto elaborado e implementado conjuntamente com a direção do Instituto de Ciências Exatas, a coordenação, a chefia de departamento, o corpo docente e discente do curso de Matemática, de forma participativa, democrática e transparente, acolhendo sugestões e críticas da comunidade acadêmica. O evento tem como objetivo apresentar à comunidade acadêmica diferentes áreas da matemática visando, em particular, promover a integração dos docentes e discentes bem como despertar o interesse nos alunos de graduação em ciências exatas, matemática e licenciatura em matemática em um dos três mestrados oferecidos pelo departamento: Mestrado Acadêmico em Matemática, Mestrado Profissional em Educação Matemática e Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (Profmat).

Esta edição da Semana da Matemática acontecerá na sala S309 do Instituto de Ciências Exatas – UFJF, no período de 15 a 17 de outubro de 2012, e contará com as seguintes atividades:

• Dois minicursos (Cálculo Variacional e Coloração de Grafos).

• Uma mesa redonda sobre pós-graduação com representantes dos três programas de mestrado do departamento acima citados.

• Dez palestras de professores locais e convidados de instituições como UFRJ, UFF, IMPA e UFU com duração de cerca de 50 minutos.

• Sessões para os alunos apresentarem seus trabalhos de iniciação científica e dissertação de mestrado.

A comissão organizadora do evento é composta pelas professoras Beatriz Ribeiro, Sofia Melo, Tatiana Gouveia e Valéria Mattos da Rosa. As inscrições serão feitas via integra a partir do dia 2 de outubro e deverão ser confirmadas mediante entrega de 2 litros de leite na secretaria do ICE.

Confira a programação detalhada abaixo.

Programação detalhada

Minicurso 1 – Profa Andrea Gomes Guimarães (UFF)

A álgebra no mundo do entretenimento

Neste minicurso, aplicaremos técnicas algébricas para resolver o problema de coloração de grafos. Como aplicação, relacionaremos o passatempo Sudoku a um problema de coloração e utilizaremos o software Singular para resolvê-lo.

Minicurso 2 – Ronei Sandro Vieira (CEFET-MG) e Sandra Imaculada M. Neto (UEMA)

Problema da Braquistócrona e breve introdução ao Cálculo Variacional

Encontra-se na Eneida de Virgílio (70 – 19 a.C.) que Dido, uma fenícia, persuadiu um chefe africano a dar-lhe tanta terra quanto ela pudesse cercar com a tripa de um touro. Primeiro, ela cortou as tripas em centenas de tiras bem fininhas. Depois, espertamente, uniu-as para traçar um semi-círculo no chão, a beira do mar Mediterrâneo. Era a máxima área costeira que ela poderia envolver. Neste lugar ela construiu uma cidade, a famosa Cartago. Esta lenda é pitoresca e tem sido muito usado em livros de otimização, pois, antes de se tornar rainha de Cartago, Dido teria resolvido o primeiro problema de otimização da história.

E notório que problemas que se referem a valores de máximos e mínimos idealizam muitos dos nossos problemas cotidianos, sendo por isso, de grande interesse para os matemáticos. Uma área da Matemática que é muito útil na solução desse tipo de problemas é o Cálculo das Variações, que generaliza a teoria de máximos e mínimos do Cálculo Diferencial. Embora a história do Cálculo das Variações date da Grécia antiga, foi a partir do século XVII, na Europa, que um progresso substancial foi feito. Podemos dizer que o desenvolvimento do Cálculo Variacional começou de fato em junho de 1696, quando Johann Bernoulli (1667-1748) publicou no jornal científico Acta Eruditorium uma nota com o seguinte título: “Um novo problema que convido os matemáticos a resolver”. Este problema é o que hoje conhecemos como o problema da Braquistócrona: Sejam A e B dois pontos dados em um plano vertical. Encontre a curva que uma partícula precisa descrever para sair de A e chegar em B no menor tempo possível, somente sob a açãoo da força da gravidade. Em maio de 1697, a Acta Eruditorum publicou quatro soluções cujos autores eram Leibniz, o mesmo Bernoulli, seu irmão mais velho Jacob Bernoulli e a anônima de Newton.

No cálculo das variações, os pesquisadores associam aos problemas, funcionais cujos pontos críticos são os candidatos naturais a solução, em certo sentido, do problema dado. Assim, resolver o problema é procurar pontos críticos do funcional associado. Todo método ou técnica que se assemelha a essas ideias é chamado método variacional.

Palestra 1 – Prof. Madiagne Diallo (ex-aluno da Matemática da UFJF, professor da PUC-Rio e Cônsul Geral do Senegal no Brasil)

Um matemático na Diplomacia: qual caminho?

Falarei sobre tantas oportunidades que o mercado oferece a um matemático. Demonstrarei que o futuro de um matemático não é somente ser professor. Portanto está errado dizer que fazer matemática significa não ter futuro no mundo da indústria. Falarei sobre o caminho que segui e que me levou a ser diplomata para meu país, o Senegal.

Palestra 2 – Prof. Wilhelm Passarela Freire

Como o Cálculo aparece em problema empresariais

Nesta palestra pretendemos mostrar como o Cálculo pode ser empregado na resolução de problemas oriundos de grandes empresas. Vamos mostrar como objetos matemáticos tais como a derivada e a integral são empregados na formulação de problemas que visam a maximização do lucro ou a minimização do custo de produção de uma empresa. Vamos também dar uma ideia sobre métodos computacionais para resolução de tais problemas.

Palestra 3 – Prof. Jean Carlos da Silva (UFRJ)

Álgebras com Valor Médio

Vários problemas de mecânica e física levam ao estudo de funções com características oscilatórias. Essas funções podem estar além do conjunto periódico mas possuem um grupo de propriedades essenciais que é comum a todas elas. Nesse seminário, analisamos o conjunto de funções periódicas para introduzir essas propriedades essenciais. Essas levam a noção de álgebra com valor médio. Daremos exemplos clássicos e recentes de tais conjuntos. Concluímos dando aplicações onde esses conjuntos são usados no contexto de EDO´s e EDP´s.

Palestra 4 – Luiz Alberto Viana da Silva (recém-doutor pela UNICAMP)

Um problema clássico em aberto é determinar se, em domínios com fronteira, soluções das equações de Navier-Stokes convergem, em um sentido apropriado, a uma solução das equações de Euler quando a viscosidade do fluido tende a zero. Em vista desta questão, analisaremos nesta exposição a dinâmica de escoamentos tridimensionais incompressíveis com viscosidade pequena em torno de obstáculos distantes, apresentando estimativas que indicam um comportamento assintótico para famílias de soluções das equações de Navier-Stokes em termos da viscosidade do escoamento e da localização do obstáculo

Palestra 5 – Prof. Guilherme Tizzioti (UFU)

Esteganografia: uma introdução

Esteganografia, do grego “escrita escondida”, é a ciência que estuda comunicações de mensagens escondidas. É usada para transmitir informações, protegendo-as contra terceiros. Na esteganografia, a transmissão de uma mensagem por parte de um emissor é feita através do uso de uma cobertura, aparentemente inofensiva, onde a mensagem é inserida e em um primeiro momento não pode ser detectada por um observador, além do receptor. Veremos como uma mensagem é inserida e depois recuperada em uma cobertura e como a teoria de códigos pode ajudar neste processo.

Palestra 6 – Profa. Márcia Fusaro (UFRJ)

Alternativas para o ensino de Números Reais, utilizando computadores.

Visando atender uma demanda por utilização de computadores em uma disciplina de cálculo de um curso de especialização para professores de matemática, produzimos um objeto de aprendizagem para trabalhar o conceito de Números Reais. A proposta, alternativa, para o estudo de Números Reais, pode ser adaptada para outros contextos. Apresento aspectos de sua produção, sua fundamentação e concepção. Concluo com uma análise de questões que emergiram durante sua utilização em sala de aula, numa perspectiva de representações múltiplas para conceitos matemáticos.

Palestra 7 – Profa. Tatiana Roque (UFRJ)

História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas

(livro recém lançado pela editora Zahar)

O objetivo é apresentar um olhar crítico e atual sobre o modo como a história da matemática tem sido contada, desfazendo lendas e clichês que ajudaram a romantizar a imagem da disciplina. Um dos principais mitos questionados é o de que a matemática seria um edifício pronto, a priori, no qual cada época ou povo contribuiria preenchendo lacunas
com as próprias pesquisas e descobertas. Apresentaremos trabalhos atuais de pesquisa que, por meio de um mergulho nos problemas que caracterizam o pensamento de cada época em toda a sua complexidade, permitem apresentar uma história distinta da tradicional.

Palestra 8 – Profa. Ana Tércia Monteiro Oliveira

O Teorema de recorrência de Poincaré

Apresentaremos o Teorema de Recorrência e duas aplicações deste em teoria dos números.

Palestra 9 – Welington de Oliveira (IMPA)

Tomada de decisão sob incerteza. Uma abordagem do ponto de vista da otimização

Em muitas situações realísticas tem-se a necessidade de tomar decisões na presença de incertezas e, além disso, almeja-se que tais decisões sejam realizadas atendendo algum critério de otimalidade. Uma área da ciência dedicada aos problemas de tomadas de decisões sob incerteza é a denominada otimização estocástica que, sendo uma área multidisciplinar, envolve conceitos e resultados de otimização, probabilidades, estatística, e computação.

Nesta apresentação daremos ênfase ao problema de seleção de portfólios em uma carteira de investimentos.

Palestra 10 – Profa Lucy Tiemi (UFJF)

Venha trabalhar com Biomatemática!

O objetivo é divulgar a área de pesquisa Biomatemática, com ênfase em modelos de dinâmica populacional. Para isso faremos uma abordagem sobre como é o processo de Modelagem, os Modelos Clássicos na área de dinâmica populacional e apresentaremos alguns trabalhos de estudantes de graduação e mestrado.

Mesa Redonda

Representantes dos três programas de mestrado do departamento de matemática apresentam os critérios de seleção, programas, perfis esperados, objetivos e panoramas. Com prof. José Barbosa (PROFMAT), profa. Maria Cristina (Mestrado Profissional em Educação Matemática) e Valéria Mattos (Mestrado Acadêmico em Matemática).

Sessões de IC e Mestrado

• Segunda (15/10)

  • Daniel Gutierrez – Solução Numérica para um problema de Percolação através de um meio poroso.

Mostrar a equivalência entre o Problema do Dique Retangular e o  Problema do Obstáculo. Logo aplicar o Algoritmo FDA-NCP para resolver numericamente o Problema de Complementaridade associado nos Problemas Tipo Obstáculo.

• Gladston Duarte Ferreira –  Controle da altitude de um satélite

O objetivo deste primeiro trabalho é estudar o posicionamento de um satélite artificial em órbita e a manutenção desta. No intuito de simplificar o problema, começamos supondo que o planeta Terra é a única influência relevante para este movimento. Passamos assim a lidar com um Problema de Dois Corpos e usamos um método de Runge-Kutta de quarta ordem, com ou sem controle de passo, para implementar e ajustar o movimento do satélite. Dadas certas condições iniciais ao método utilizado, observamos que o satélite foge da Terra, e daí surgem cinco abordagens para tentar controlar a órbita deste, sendo que dessas cinco, três apresentaram um resultado muito satisfatório – a órbita ficou controlada dentro de uma coroa circular pré-estabelecida durante um tempo longo.

• Wilker Thiago Resende Fernandes – Campos Morse-Smale

O objetivo principal do estudo de Sistemas Dinâmicos é entender o comportamento a longo prazo de estados em um sistema para o qual existe uma regra determinística que diz como o sistema evolui. Uma propriedade importante de um sistema dinâmico é a estabilidade estrutural, assim apresentaremos uma classe de campos que possui essa propriedade, os campos de Morse- Smale.

• Terça (16/10)

  • Weslley da Silva Pereira – Resolvendo a equação de Poisson

A equação de Poisson ($-\Delta u = f$) é encontrada em diversas modelagens matemáticas de problemas da física e engenharia, por exemplo: problemas de elasticidade, fluxo e contato. O trabalho apresentará a técnica de Elementos Finitos para resolver numericamente esta equação. A técnica utilizada trabalha com uma formulação fraca da equação de Poisson, que uma vez discretizada, resulta em um sistema de equações lineares da forma $K*u = F$, onde $K$ é chamada matriz de rigidez. Em seguida serão apresentados alguns resultados numéricos obtidos de modelos baseados na equação de Poisson.

• Artur Rossini – O Problema de Poincaré

O problema em questão trata de buscar possíveis cotas superiores para o grau de um solução polinomial de uma folheação no plano projetivo, em função do grau da folheação. Tais cotas podem ser encontradas em alguns casos, como por exemplo ao se tratar de curvas lisas.

• Gisele Teixeira Paula – Geometrias Não-Euclideanas

Neste trabalho, fazemos um estudo da Geometria Esférica e da Geometria Hiperbólica. Para começar, tomamos um espaço e uma certa métrica sobre ele. Conhecida a métrica, podemos definir um produto interno e, a partir daí, calcular distâncias, ângulos e áreas nesse espaço. Conseguimos também determinar quais são as geodésicas (curvas que minimizam distâncias entre dois pontos) e classificar a ação do grupo de isometrias (funções que preservam distâncias) nesse espaço. Serão apresentados alguns modelos para essas geometrias e feitas algumas comparações entre resultados obtidos nestes espaços e os conhecidos no espaço euclideano, com a métrica usual.

Quarta (17/10)

• Sandra M. de Souza Lima – Teorema de Lax-Milgran eAplicações

No trabalho que se segue, apresentamos o teorema de Lax-milgram e sua demonstração, introduzimos algumas questões como motivação, a serem desenvolvidas. No decorrer do trabalho acrescentamos as definições necessárias para o entendimento das demonstrações como o conceito de forma linear contínua, forma bilinear coersiva e contínua. Apresentamos, por fim, algumas aplicações do teorema estudado como no problema de Dirichlet Homogêneo e no problema de Neumann Homogêneo.

Teorema – 1[Lax-Milgram]

Sejam V e H dois espaços de Hilbert, V contido em  H denso com injeção contínua e seja a(u; v) uma forma bilinear contínua e coerciva em V . Então para toda L em V’ existe um único u em V solução do problema:

a(u, v) =  < L ,  v > V’XV ; para todo v em V;

Teorema-2

Seja a(:;: ) : V x V → R uma forma bilinear, contínua , coersiva e simétrica em V e L em V’. Então u em V solução do problema variacional (1) é o único elemento que minimiza o funcional

J(u) = ½ a(v,v) – < L,v> V’XV

e vice-versa.

Conclusão: A partir dos Teoremas 1 e 2 demonstra-se para uma forma bilinear, contínua, coersiva e simétrica a equivalência entre os problemas:

Encontrar u em V tal que                                                   (3)

a(u; v) = L(v); para todo v em V;

Encontrar u em V tal que                                                    (4)

J(u) < ou = J(v); para todo v em V;

• Dejair Barroso – Consumidor, a alma do negócio

Nesta comunicação, abordaremos a sociedade de consumidores, que é  enaltecida pelas campanhas publicitárias e instituições financeiras que promovem a oferta contínua de crédito a jovens e adultos, de modo que estes últimos sejam disciplinados não mais no antigo hábito de poupar a longo  prazo, mas na busca de suas satisfações imediatas, sempre que estas estejam ao alcance do digitar das senhas de um cartão de crédito.

• Janaína Lamas Santiago – O atrator de Lorenz geométrico

O objetivo do trabalho é mostrar que o modelo geométrico do atrator de Lorenz é um atrator. Para isso, mostraremos as propriedades das equações de Lorenz, e apresentaremos o modelo geométrico.